维尔斯特拉斯函数 高中13种函数图像汇总
对于一个数学家而言，30到40岁无疑是事业的黄金时间，很难想象如果这段时间内只是业余研究数学的话可以做出大成果来。纵观数学历史，数学大师绝大多数在二三十岁便已成名，接近40岁才广为人知的数学家屈指可数。但在数学史上，却真正的存在这么一位大器晚成的数学大师，这就是被誉为“现代分析学之父”的德国数学家魏尔斯特拉斯。
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魏尔斯特拉斯 1815~1897出生于德国西北部的奥斯坦菲尔德，父亲是海关职员，有一定的文化素养，年轻时当过教师。但他的父亲对子女异常专断，从不顾及他们的感受或兴趣，只想让他们按自己的意志行事，甚至不让自己的子女结婚，魏尔斯特拉斯也因此一生未婚。14岁时他进入附近的预科学校学习，学习方面的天才一下子就展露无遗，每年至少拿七项奖学金，其中尤以数学和语言学最为出色。由于出色的数学才能，他还兼职到一家火腿黄油商店做会计。但专断的父亲根本不管这些，在魏尔斯特拉斯中学毕业后，直接让他去波恩大学学了法律，理由就是让他以后好进入普鲁士政府工作。
魏尔斯特拉斯对法律毫无兴趣，甚至厌恶，来到波恩之后，他很少去上课，反倒每天准时出现在酒馆里，喝酒抽烟和高谈阔论成了每日的必修课。凭借自己强大的语言天赋和逻辑思辨能力，魏尔斯特拉斯成了这里的出名人物。不过等他1838年夏天回到家时，魏尔斯特拉斯只带回来了装满啤酒的大肚子，他没有获得任何文凭。这让他的一家人都大为光火，因为他们省吃俭用让魏尔斯特拉斯去读大学，结果他什么都没得到就回来了。尽管如此，魏尔斯特拉斯并没有放弃数学，在抽烟喝酒之余，他还是认真拜读了阿贝尔和拉普拉斯等大师的著作。
正当魏尔斯特拉斯一家人一筹莫展之时，老魏尔斯特拉斯在海关的老朋友建议他的这个儿子去附近的蒙斯特学院学习两年，这样就可以找到一份教师的工作。迫于生计，老魏也只能同意。而这次经历在魏尔斯特拉斯一生中算是重要的转折点，否则我们可能将失去一位占有重要地位的数学大师。魏尔斯特拉斯这匹千里马在学院遇到了他的伯乐—数学教授古德尔曼。古德尔曼是函数论的热衷研究者，尤其是椭圆函数，他以函数展开为幂级数的观点来研究椭圆函数。但他的研究孤掌难鸣，没有引起太多的反响。而魏尔斯特拉斯却看到了幂级数的威力，这成为了贯穿他一生研究工作的工具。魏尔斯特拉斯晚年回忆自己的分析学工作时说:“没有别的，就是幂级数”。
在跟随古德尔曼学习椭圆函数后，魏尔斯特拉斯不得不面对教师资格考试和面试。长期的思考后，他写就了一篇研究如何将椭圆函数展开为幂级数的论文，这无疑是教师资格考试史上最有分量的论文。古德尔曼给予了高度评价，并且在鉴定报告中建议派他去大学而不是中学教书，否则就是浪费他的才华。可惜没有理会古德尔曼的建议，魏尔斯特拉斯也就这样从26岁开始，在偏远乡村当了整整15年的中学教师！
在西普鲁士偏远的乡村里，魏尔斯特拉斯当上了一名大学预科学校的教师，他不仅要教数学物理，还要教地理和德文。三年之后，觉得这些工作对高大强壮的魏尔斯特拉斯来说还不够，又给他增加了一份工作，给孩子们教体育。魏尔斯特拉斯的数学大门被古德尔曼打开之后，他就已经沉醉其中了。白天繁重的教学工作并不能浇灭他的热情，每天夜深人静之时，他就开始着手开始数学研究。
由于通讯和交通的极度不发达，魏尔斯特拉斯和外界几乎没有什么联系，他唯一的学习渠道就是阿贝尔的著作，这也正是他后来十分推崇阿贝尔的原因。1841年魏尔斯特拉斯先于柯西发现了如今复变函数论中重要的柯西积分定理，但限于二人当时悬殊的地位以及魏尔斯特拉斯的成果不为人知，这样的功绩就自然归于柯西。第二年，魏尔斯特拉斯又独立创造了解微分方程租的方法，这种方法严格而且成熟，但他也没有公开发表，因为他心中真正想解决的问题只有椭圆函数。
求椭圆弧长的问题引发了对椭圆积分的研究，这种积分不能用初等函数表达，所以研究起来十分困难。真正的突破后来才由阿贝尔实现，他考虑的椭圆积分的反函数—椭圆函数。雅克比后来发展了阿贝尔的理论，但他同样没有真正发现椭圆函数的真正意义。魏尔斯特拉斯在阿贝尔的指引下，艰难地向着高峰前进，白天没有时间，只好通宵达旦地研究，这样的研究是孤独的，但这丝毫没有动摇他的决心。1848年，魏尔斯特拉斯得到了一次小小的晋升，他被调到一所条件好一点的预科学校教书，而且幸运的是这里的图书馆书籍还算完备。
1853年夏天的假期，魏尔斯特拉斯回到了久违的家中，父亲已经苍老，弟弟妹妹也已经长大成人。也正是在这个假期，他对椭圆函数的研究取得了重要进展，只等临门一脚。回到学校后，他仍然夜以继日的研究。终于在一天早上，学生的喧闹声惊动了老校长，原来魏尔斯特拉斯已经两天没有来上课了，这吓得校长直奔他的住处查看，这才知他已不知时日的研究了两天两夜了。一篇关于阿贝尔函数划时代意义的论文就这样由一位名不见经传的中学教师完成了！
维尔斯特拉斯以自己独特的思想和完备的方法，改写和美化了椭圆函数理论。他决定以阿贝尔为榜样，把它寄给柏林的《克莱尔杂志》发表，他相信这将引起轰动。《克莱尔杂志》没有使他失望，在1854年第47卷上，杂志全文刊登了维尔斯特拉斯的这篇论文。这是《克莱尔杂志》对数学发展作出的又一个重大贡献。论文一经发表立刻引起巨大的轰动。不仅因为这么一篇伟大杰作出自一位不知名的偏远的乡村教师之手，而且这是一项规模宏大的工程，文中包含了大量创造性的成果，直接将椭圆函数论的研究推到了全新的高度。做为椭圆函数论发源地之一的柯尼斯堡大学异常兴奋，雅克比的继承人理查劳特亲自跑来魏尔斯特拉斯所在学校，向他颁发了学校的荣誉博士学位。教育部，杂志社编辑等都纷纷前来祝贺。可谓一朝成名天下知！
1857年，最终在数学界的不懈努力下，魏尔斯特拉斯来到柏林工业大学 后来转任柏林大学教授，直至去世任数学教授，同年被选举为柏林科学院院士，此时的魏尔斯特拉斯已经42岁了，对大多数数学家而言，黄金时期已经过去，而对他而言，或许才刚刚开始。
在柏林期间，魏尔斯特拉斯完成了数学史上另一大创举，那就是分析 微积分严格化的伟大工作。魏尔斯特拉斯在数学界有一个名号叫“流言终结者”，这是因为他曾举出过许多反例来说明一些直觉上的观点是错误的，其中尤以构造出“处处连续而处处不可微”的函数最为出名，这些反例的重要性在于突出了严密的理论基础对数学理论的重要性。在分析的严格化这一历程中，应该说柯西和魏尔斯特拉斯扮演了最重要的角色，而魏尔斯特拉斯的结果更接近于现代的形式，也更成功，比如我们非常熟悉的“-”语言就完全出自魏尔斯特拉斯之手。同时他还提出了许多新概念和定理，如一致收敛等，并严格地重新定义了极限、连续和导数等概念与函数逼近定理等。这些成果极大地造就了今天教科书中非常完善的数学分析体系。我们可以借用希尔伯特的评价来总结他的这一功绩:
“魏尔斯特拉斯以其酷爱批判的精神和深邃的洞察力，为数学分析建立了坚实的基础。通过澄清极小、极大、函数、导数等概念，他排除了在微积分中仍在出现的各种错误提法，扫清了关于无穷大、无穷小等各种混乱观念，决定性地克服了源于无穷大、无穷小朦胧思想的困难。今天，分析学能达到这样和谐可靠和完美的程度本质上应归功于魏尔斯特拉斯的数学活动”。
而在复变函数论上，魏尔斯特拉斯则与柯西和黎曼三足鼎立。柯西开创了复变函数积分理论，而黎曼则借助深刻的黎曼映射定理开创了复变函数的几何理论。魏尔斯特拉斯则利用幂级数定义了复函数的解析性，从而推导出整个单复变函数论，其结果也成为了如今复变函数教材的主体内容，亦可谓居功甚伟。庞加莱评价时说到："黎曼的方法首先是一种发现的方法，而魏尔斯特拉斯的则首先是一种证明的方法。"
魏尔斯特拉斯一生最大的数学成就集中在椭圆函数、数学分析和复变函数论上。除此之外，他在二次型理论、变分学、函数逼近论等方面均有建树，甚至对天体力学中的n体问题也很有研究。
魏尔斯特拉斯不仅数学研究极为出色，在数学教育方面同样流芳千古。在乡村中学期间，他就曾专门写过研究数学教育的论文。而到了大学，除去研究之外，魏尔斯特拉斯同样循循善诱，诲人不倦。许多学生慕名而来，其中就包括后来的瑞典现代数学奠基人米塔-列夫勒，伟大的女数学家、历史上第一个数学女博士柯瓦列夫斯卡娅等著名人物。魏尔斯特拉斯同样品德高尚，这与他的同行柯西形成了鲜明对比，他从来不计较个人得失，经常将自己的手稿借给学生参考，包括一些还未发表的成果，所以偶尔就有人剽窃他的成果，但他也并不怎么在意。后来他装满了手稿的手提箱被盗以后，才真正地对这样的行为表示了极大的愤怒。
即使在生命中最后的几年，魏尔斯特拉斯也没有停止对数学的思考，即使他已经老态龙钟。此时他的学生已经遍布整个欧洲甚至，他在数学教育史上的影响力也是罕见的，这深刻地影响了接下来整个20世纪分析学甚至数学的发展面貌。再加之他传奇的经历，整个德意志都将他看做民族的骄傲和伟人。魏尔斯特拉斯以其深刻的数学研究、出色的数学教育还有伟大的品德人格，充分赢得了世人的尊敬和推崇，在数学史上留下了光辉的一页，这值得我们所有人致敬。
1897年2月19日，“现代分析学之父”魏尔斯特拉斯走到了人生的终点，但他的功绩和魅力必将惠泽后世，源远流长……
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